Пе­ри­од ко­ле­ба­ний свя­зан с мас­сой груза и жест­ко­стью пру­жи­ны k со­от­но­ше­ни­ем При умень­ше­нии массы пе­ри­од ко­ле­ба­ний умень­шит­ся. Ча­сто­та об­рат­но про­пор­ци­о­наль­на пе­ри­о­ду, зна­чит, ча­сто­та уве­ли­чит­ся.

С мак­си­маль­ной по­тен­ци­аль­ной энер­ги­ей пру­жи­ны все не­мно­го слож­нее. Для от­ве­та на во­прос, что с ней про­изой­дет су­ще­ствен­но, что пру­жи­на ори­ен­ти­ро­ва­на вер­ти­каль­но (для го­ри­зон­таль­но­го пру­жин­но­го ма­ят­ни­ка при не­из­мен­ной ам­пли­ту­де дан­ная ве­ли­чи­на, есте­ствен­но, оста­нет­ся не­из­мен­ной). Дей­стви­тель­но, когда к вер­ти­каль­ной пру­жи­не под­ве­ши­ва­ют груз, она сразу не­мно­го рас­тя­ги­ва­ет­ся, чтобы урав­но­ве­сить силу тя­же­сти, дей­ству­ю­щую на груз. Опре­де­лим это на­чаль­ное рас­тя­же­ние: Имен­но это со­сто­я­ние яв­ля­ет­ся по­ло­же­ни­ем рав­но­ве­сия для вер­ти­каль­но­го пру­жин­но­го ма­ят­ни­ка, ко­ле­ба­ния про­ис­хо­дят во­круг него, груз под­ни­ма­ет­ся и опус­ка­ет­ся из этого по­ло­же­ния на ве­ли­чи­ну ам­пли­ту­ды. При дви­же­нии вниз из по­ло­же­ния рав­но­ве­сия пру­жи­на про­дол­жа­ет рас­тя­ги­вать­ся, а зна­чит, по­тен­ци­аль­ная энер­гия пру­жи­ны про­дол­жа­ет уве­ли­чи­вать­ся. При дви­же­нии вверх из по­ло­же­ния рав­но­ве­сия спер­ва де­фор­ма­ция пру­жи­ны умень­ша­ет­ся, а если то пру­жи­на нач­нет сжи­мать­ся. Мак­си­маль­ной по­тен­ци­аль­ной энер­гии пру­жи­ны со­от­вет­ству­ет со­сто­я­ние, когда она мак­си­маль­но рас­тя­ну­та, а зна­чит, в нашем слу­чае это по­ло­же­ние, когда груз опу­стил­ся мак­си­маль­но вниз. Таким об­ра­зом, мак­си­маль­ная по­тен­ци­аль­ная энер­гия пру­жи­ны равна:

Из этой фор­му­лы видно, что для вер­ти­каль­но­го пру­жин­но­го ма­ят­ни­ка при не­из­мен­ной ам­пли­ту­де и умень­ше­нии массы груза мак­си­маль­ная по­тен­ци­аль­ная энер­гия пру­жи­ны умень­шит­ся.

Ответ: 221.

Пе­ри­од ко­ле­ба­ний свя­зан с мас­сой груза и жест­ко­стью пру­жи­ны k со­от­но­ше­ни­ем При уве­ли­че­нии массы пе­ри­од ко­ле­ба­ний уве­ли­чит­ся. Ча­сто­та об­рат­но про­пор­ци­о­наль­на пе­ри­о­ду, зна­чит, ча­сто­та умень­шит­ся.

С мак­си­маль­ной по­тен­ци­аль­ной энер­ги­ей пру­жи­ны все не­мно­го слож­нее. Для от­ве­та на во­прос, что с ней про­изой­дет су­ще­ствен­но, что пру­жи­на ори­ен­ти­ро­ва­на вер­ти­каль­но (для го­ри­зон­таль­но­го пру­жин­но­го ма­ят­ни­ка при не­из­мен­ной ам­пли­ту­де дан­ная ве­ли­чи­на, есте­ствен­но, оста­нет­ся не­из­мен­ной). Дей­стви­тель­но, когда к вер­ти­каль­ной пру­жи­не под­ве­ши­ва­ют груз, она сразу не­мно­го рас­тя­ги­ва­ет­ся, чтобы урав­но­ве­сить силу тя­же­сти, дей­ству­ю­щую на груз. Опре­де­лим это на­чаль­ное рас­тя­же­ние: Имен­но это со­сто­я­ние яв­ля­ет­ся по­ло­же­ни­ем рав­но­ве­сия для вер­ти­каль­но­го пру­жин­но­го ма­ят­ни­ка, ко­ле­ба­ния про­ис­хо­дят во­круг него, груз под­ни­ма­ет­ся и опус­ка­ет­ся из этого по­ло­же­ния на ве­ли­чи­ну ам­пли­ту­ды. При дви­же­нии вниз из по­ло­же­ния рав­но­ве­сия пру­жи­на про­дол­жа­ет рас­тя­ги­вать­ся, а зна­чит, по­тен­ци­аль­ная энер­гия пру­жи­ны про­дол­жа­ет уве­ли­чи­вать­ся. При дви­же­нии вверх из по­ло­же­ния рав­но­ве­сия, спер­ва де­фор­ма­ция пру­жи­ны умень­ша­ет­ся, а если то пру­жи­ны нач­нет сжи­мать­ся. Мак­си­маль­ной по­тен­ци­аль­ной энер­гии пру­жи­ны со­от­вет­ству­ет со­сто­я­ние, когда она мак­си­маль­но рас­тя­ну­та, а зна­чит, в нашем слу­чае, это по­ло­же­ние, когда груз опу­стил­ся мак­си­маль­но вниз. Таким об­ра­зом, мак­си­маль­ная по­тен­ци­аль­ная энер­гия пру­жи­ны равна:

Из этой фор­му­лы видно, что для вер­ти­каль­но­го пру­жин­но­го ма­ят­ни­ка при не­из­мен­ной ам­пли­ту­де и уве­ли­че­нии массы груза мак­си­маль­ная по­тен­ци­аль­ная энер­гия пру­жи­ны уве­ли­чи­ва­ет­ся.

Ответ: 112.

Точка 2 пред­став­ля­ет собой по­ло­же­ние устой­чи­во­го рав­но­ве­сия ма­ят­ни­ка. Когда груз на­хо­дит­ся в точке 2, пру­жи­на не де­фор­ми­ро­ва­на. Точка 1, на­про­тив, со­от­вет­ству­ет сжа­той пру­жи­не. При дви­же­нии груза от точки 1, в ко­то­рой он имеет ну­ле­вую ско­рость, к точке 2 пру­жи­на раз­жи­ма­ет­ся, уско­ряя груз. Таким об­ра­зом, на этой фазе ко­ле­ба­ния ско­рость груза уве­ли­чи­ва­ет­ся. Ки­не­ти­че­ская энер­гия про­пор­ци­о­наль­на квад­ра­ту ско­ро­сти: сле­до­ва­тель­но, ки­не­ти­че­ская энер­гия груза также уве­ли­чи­ва­ет­ся. Жест­кость пру­жи­ны яв­ля­ет­ся ха­рак­те­ри­сти­кой пру­жи­ны, не за­ви­ся­щей от фазы ко­ле­ба­ния, по­это­му жест­кость пру­жи­ны не из­ме­ня­ет­ся.

Ответ: 113.

На спут­ник дей­ству­ет толь­ко сила при­тя­же­ния со сто­ро­ны Земли. Вто­рой закон Нью­то­на при­об­ре­та­ет вид: От­сю­да видно, что если ра­ди­ус ор­би­ты умень­шил­ся, то цен­тро­стре­ми­тель­ное уско­ре­ние уве­ли­чи­лось. Под­став­ляя во вто­рой закон Нью­то­на вы­ра­же­ние для цен­тро­стре­ми­тель­но­го уско­ре­ния имеем: Сле­до­ва­тель­но, умень­ше­ние ра­ди­у­са ор­би­ты при­во­дит к уве­ли­че­нию ско­ро­сти дви­же­ния спут­ни­ка по ор­би­те. Пе­ри­од об­ра­ще­ния спут­ни­ка свя­зан с ра­ди­у­сом ор­би­ты и ско­ро­стью дви­же­ния со­от­но­ше­ни­ем По­сколь­ку ра­ди­ус умень­шил­ся, а ско­рость воз­рос­ла, по­лу­ча­ем, что пе­ри­од об­ра­ще­ния спут­ни­ка во­круг Земли умень­шил­ся.

Ответ: 112.

На про­тя­же­нии ин­тер­ва­ла вре­ме­ни от 0 до уско­ре­ние тела было по­сто­ян­но, а зна­чит, тело дви­га­лось рав­но­уско­рен­но, его ско­рость ме­ня­лась со вре­ме­нем по ли­ней­но­му за­ко­ну: (здесь учте­но, что из­на­чаль­но тело по­ко­и­лось). В те­че­ние про­ме­жут­ка вре­ме­ни от до уско­ре­ние тело рав­ня­лось нулю. Сле­до­ва­тель­но, ско­рость тела не из­ме­ня­лась. На­ко­нец, на по­след­нем ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от до уско­ре­ние было по­сто­ян­но и по ве­ли­чи­не в два раза мень­ше, чем на пер­вом ин­тер­ва­ле. Зна­чит, ско­рость тела снова ме­ня­лась ли­ней­но со вре­ме­нем, но в 2 раза мед­лен­нее, чем в самом на­ча­ле. Гра­фик А отоб­ра­жа­ет имен­но такую за­ви­си­мость от вре­ме­ни. Таким об­ра­зом, гра­фик А со­от­вет­ству­ет ско­ро­сти тела (А  — 2). Легко ви­деть, что гра­фик Б изоб­ра­жа­ет путь, прой­ден­ный телом.

Дей­стви­тель­но, при дви­же­нии с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем ко­ор­ди­на­та тела из­ме­ня­ет­ся по па­ра­бо­ли­че­ско­му за­ко­ну, при дви­же­нии без уско­ре­ния  — по ли­ней­но­му. При этом тан­генс угла на­кло­на гра­фи­ка за­ви­си­мо­сти пути от вре­ме­ни (со­от­вет­ству­ю­щий ско­ро­сти дви­же­ния) дол­жен из­ме­нять­ся не­пре­рыв­но. Все эти тре­бо­ва­ния вы­пол­не­ны на гра­фи­ке Б. Таким об­ра­зом, гра­фик Б со­от­вет­ству­ет пути, прой­ден­но­му телом (Б  — 3).

Ответ: 23.